489. Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле S = a²√3/4, где a — сторона треугольника. Найдите площадь равностороннего треугольника, если его сторона равна: а) 5 см; б) 1,2 см; в) 2√2 дм.

Высота равностороннего треугольника равна \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Поэтому его площадь:

\(S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}a\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).

а) При \(a=5\) см:

\(S=\frac{5^2\sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{4}\) см².

б) При \(a=1.2\) см:

\(S=\frac{1.2^2\sqrt{3}}{4}=0.36\sqrt{3}\) см².

в) При \(a=2\sqrt{2}\) дм:

\(S=\frac{(2\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{8\sqrt{3}}{4}=2\sqrt{3}\) дм².

Ответ: а) \(\frac{25\sqrt{3}}{4}\) см²; б) \(0.36\sqrt{3}\) см²; в) \(2\sqrt{3}\) дм².