490. Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если: а) основание равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120°; в) треугольник прямоугольный и высота, проведённая к гипотенузе, равна 7 см.

а) Половина основания равна \(12:2=6\) см.

Боковая сторона: \(c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\) см.

Площадь: \(S=\frac{1}{2}\cdot12\cdot8=48\) см².

б) Пусть боковая сторона равна \(c\). По теореме косинусов:

\(18^2=c^2+c^2-2c^2\cos120^\circ=2c^2+c^2=3c^2\).

Отсюда \(c=6\sqrt{3}\) см. Высота равна \(c\cos30^\circ=9\) см, поэтому \(S=\frac{1}{2}\cdot18\cdot9=81\) см².

в) В прямоугольном равнобедренном треугольнике высота к гипотенузе равна половине катета. Поэтому катет, являющийся боковой стороной, равен \(2\cdot7\sqrt{?}\). Уточним через формулу: если катет \(x\), то гипотенуза \(x\sqrt{2}\), а высота \(h=\frac{x^2}{x\sqrt{2}}=\frac{x}{\sqrt{2}}\). Следовательно, \(x=7\sqrt{2}\) см.

Площадь: \(S=\frac{1}{2}(7\sqrt{2})^2=49\) см².

Ответ: а) боковая сторона 10 см, площадь 48 см²; б) боковая сторона \(6\sqrt{3}\) см, площадь 81 см²; в) боковая сторона \(7\sqrt{2}\) см, площадь 49 см².