49. Упростить выражение: 1) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{18}}}+\left(\sqrt{\sqrt[3]{a^4}}\right)^3$; 2) $\left(\sqrt{\sqrt[3]{x^2}}\right)^3+2\left(\sqrt[4]{\sqrt{x}}\right)^8$; 3) $\sqrt[3]{\sqrt{x^6y^{12}}}-\left(\sqrt[5]{xy^2}\right)^5$; 4) $\left(\left(\sqrt[5]{a\sqrt[5]{a}}\right)^5-\sqrt[5]{a}\right):\sqrt[10]{a^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 49. Упростить выражение: 1) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{18}}}+\left(\sqrt{\sqrt[3]{a^4}}\right)^3$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

По условию буквы обозначают положительные числа. Используем правило $\sqrt[n]{u^m}=u^{m/n}$.

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{18}}}=a^{18/9}=a^2$, а $(\sqrt{\sqrt[3]{a^4}})^3=a^{(4/6)\cdot3}=a^2$. Значит, сумма равна $2a^2$.
$(\sqrt{\sqrt[3]{x^2}})^3=x^{(2/6)\cdot3}=x$, а $(\sqrt[4]{\sqrt{x}})^8=x^{(1/8)\cdot8}=x$. Значит, выражение равно $x+2x=3x$.
$\sqrt[3]{\sqrt{x^6y^{12}}}=x^{6/6}y^{12/6}=xy^2$, и $(\sqrt[5]{xy^2})^5=xy^2$. Следовательно, разность равна 0.
Сначала упростим выражение в скобках: $(\sqrt[5]{a\sqrt[5]{a}})^5=a\sqrt[5]{a}$. Числитель становится $a\sqrt[5]{a}-\sqrt[5]{a}=\sqrt[5]{a}(a-1)$. Знаменатель $\sqrt[10]{a^2}=\sqrt[5]{a}$, поскольку $a>0$. После сокращения получаем $a-1$.

Ответ: 1) $2a^2$; 2) $3x$; 3) 0; 4) $a-1$.