491. Докажите свойство равнобедренной трапеции: а) в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны; б) в равнобедренной трапеции диагонали равны.

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, AD ∥ BC, AB = CD.

а) Опустим перпендикуляры из B и C на AD. Полученные прямоугольные треугольники имеют равные гипотенузы AB и CD и равные высоты трапеции. Поэтому эти треугольники равны, а соответствующие углы при основании AD равны: ∠A = ∠D. Так как односторонние углы при каждой боковой стороне в сумме равны 180°, из ∠A = ∠D следует ∠B = ∠C.

б) Рассмотрим треугольники BAD и CDA. У них AD — общая сторона, AB = CD, а углы BAD и CDA равны по пункту а). Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, соответствующие диагонали BD и AC равны.