499. Выполнить действия: 1) $\frac{a^2+ab}{a^2+b^2}\cdot\left(\frac a{a-b}-\frac a{a+b}\right)$; 2) $\frac{ab-b^2}{a^2+b^2}\cdot\left(\frac a{a+b}+\frac b{a-b}\right)$; 3) $\left(\frac{c+d}{c}-\frac{2c}{c-d}\right)\cdot\frac{d-c}{c^2+d^2}$; 4) $\left(\frac{2c}{c+d}+\frac{d-c}{c}\right)\cdot\frac{c+d}{c^2+d^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 499. Выполнить действия: 1) $\frac{a^2+ab}{a^2+b^2}\cdot\left(\frac a{a-b}-\frac a{a+b}\right)$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Скобки: $\frac a{a-b}-\frac a{a+b}=\frac{2ab}{a^2-b^2}$. Первый множитель равен $\frac{a(a+b)}{a^2+b^2}$. Сокращая, получаем $\frac{2a^2b}{(a-b)(a^2+b^2)}$.
Первый множитель равен $\frac{b(a-b)}{a^2+b^2}$. Скобки равны $\frac{a(a-b)+b(a+b)}{a^2-b^2}=\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}$. Произведение сокращается до $\frac b{a+b}$.
В скобках общий знаменатель $c(c-d)$: числитель $(c+d)(c-d)-2c^2=-(c^2+d^2)$. Значит, скобки равны $-\frac{c^2+d^2}{c(c-d)}$. Учитывая $d-c=-(c-d)$, получаем $-\frac1c$.
Скобки приводим к знаменателю $c(c+d)$: числитель $2c^2+c(d-c)=c(c+d)$, поэтому скобки равны $1$. Результат: $\frac{c+d}{c^2+d^2}$.

Ответ: 1) $\frac{2a^2b}{(a-b)(a^2+b^2)}$; 2) $\frac b{a+b}$; 3) $-\frac1c$; 4) $\frac{c+d}{c^2+d^2}$.