4а) В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) проведена высота CD, так что длина отрезка BD на 4 см больше длины отрезка CD, AD = 9 см. Найдите площадь треугольника ABC.

Пусть \(CD=h\) см. Тогда \(BD=h+4\) см.

1. Для высоты, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника, выполняется \(CD^2=AD\cdot BD\).
2. Подставим данные: \(h^2=9(h+4)\), откуда \(h^2-9h-36=0\).
3. Корни уравнения — 12 и −3. Длина положительна, поэтому \(CD=12\) см, а \(BD=16\) см.
4. Гипотенуза \(AB=AD+BD=9+16=25\) см. Тогда \(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot CD=\frac12\cdot25\cdot12=150\) см².

Ответ: 150 см².