5. (1 балл). Даны 4 точки A(-2;0;1), В(1;1;1), C(4;0;-2), D(-1;0;-1). Найдите косинус угла α между векторами АВ и CD.

Решение:

Найдем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\):

• \(\vec{AB} = (1 - (-2); 1 - 0; 1 - 1) = (3; 1; 0)\)
• \(\vec{CD} = (-1 - 4; 0 - 0; -1 - (-2)) = (-5; 0; 1)\)

Найдем скалярное произведение векторов:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = 3 \cdot (-5) + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = -15 + 0 + 0 = -15 \]

Найдем длины векторов:

• \(\left|\vec{AB}\right| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 1 + 0} = \sqrt{10}\)
• \(\left|\vec{CD}\right| = \sqrt{(-5)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 0 + 1} = \sqrt{26}\)

Косинус угла \(\alpha\) между векторами находится по формуле:

\[ \cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{\left|\vec{AB}\right| \cdot \left|\vec{CD}\right|} = \frac{-15}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{26}} = \frac{-15}{\sqrt{260}} = \frac{-15}{\sqrt{4 \cdot 65}} = \frac{-15}{2\sqrt{65}} \]

Можно также умножить числитель и знаменатель на \(\sqrt{65}\):

\[ \frac{-15 \sqrt{65}}{2 \cdot 65} = \frac{-15 \sqrt{65}}{130} = \frac{-3 \sqrt{65}}{26} \]

Ответ: \(\frac{-15}{2\sqrt{65}}\), или \(\frac{-3\sqrt{65}}{26}\)