5. (1 балл) Найдите корень уравнения \( 9^{x-10} = \frac{1}{3} \).

Решение:

Представим оба числа в виде степени с основанием 3:

\( 9 = 3^2 \)

\( \frac{1}{3} = 3^{-1} \)

Подставим это в уравнение:

\( (3^2)^{x-10} = 3^{-1} \)

Используем свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m · n} \):

\( 3^{2(x-10)} = 3^{-1} \)

\( 3^{2x - 20} = 3^{-1} \)

Так как основания степеней равны, приравняем показатели:

\( 2x - 20 = -1 \)

Решим полученное линейное уравнение:

\( 2x = -1 + 20 \)

\( 2x = 19 \)

\( x = \frac{19}{2} \)

\( x = 9.5 \)

Ответ: 9,5.