5. (1 балл) Найдите значение выражения

Решение:

Для вычисления значения выражения воспользуемся свойствами логарифмов: \( \log_b a + \log_b c = \log_b (ac) \) и \( \log_b a - \log_b c = \log_b (a/c) \), а также \( \log_b b = 1 \).

\[ \log_6 90 - \log_6 2.5 + \log_{16} \log_4 16 \]

Сначала вычислим \( \log_{16} \log_4 16 \):

\[ \log_4 16 = 2 \] (так как \( 4^2 = 16 \)).

\[ \log_{16} 2 \]

Чтобы найти \( \log_{16} 2 \), решим уравнение \( 16^x = 2 \). Так как \( 16 = 2^4 \), имеем \( (2^4)^x = 2^1 \), что означает \( 4x = 1 \), то есть \( x = \frac{1}{4} \).

Теперь вычислим первую часть выражения:

\[ \log_6 90 - \log_6 2.5 = \log_6 \frac{90}{2.5} = \log_6 36 \]

Так как \( 6^2 = 36 \), то \( \log_6 36 = 2 \).

Складываем результаты:

\[ 2 + \frac{1}{4} = 2.25 \]

Ответ: 2.25.