(5.10)² / (4² . 25²)

Решение:

Для решения данного примера мы применим свойства степеней.

Сначала раскроем скобки в числителе:

\( (5 · 10)^2 = 5^2 · 10^2 \)

Теперь подставим это в дробь:

\( \frac{5^2 · 10^2}{4^2 · 25^2} \)

Представим 10 как \( 2 · 5 \) и 25 как \( 5^2 \), а 4 как \( 2^2 \):

\( \frac{5^2 · (2 · 5)^2}{(2^2)^2 · (5^2)^2} = \frac{5^2 · 2^2 · 5^2}{2^{2 · 2} · 5^{2 · 2}} = \frac{5^2 · 2^2 · 5^2}{2^4 · 5^4} \)

Сложим показатели степеней с одинаковым основанием в числителе:

\( \frac{5^{2+2} · 2^2}{2^4 · 5^4} = \frac{5^4 · 2^2}{2^4 · 5^4} \)

Сократим степени:

\( \frac{2^2}{2^4} = 2^{2-4} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \)

Ответ: \( \frac{1}{4} \).