5) $121^x-(\sqrt{11}+1)\cdot11^{x+0{,}5}+11\sqrt{11}=0$. Найти $x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5) $121^x-(\sqrt{11}+1)\cdot11^{x+0{,}5}+11\sqrt{11}=0$. Найти $x$.$ Фото задания

Accepted Answer

Положим $t=11^x$, где $t>0$. Тогда $121^x=t^2$, а $11^{x+0{,}5}=t\sqrt{11}$.

Подставим: $t^2-(\sqrt{11}+1)t\sqrt{11}+11\sqrt{11}=0$.

Раскроем произведение: $t^2-(11+\sqrt{11})t+11\sqrt{11}=0$.

Корни этого квадратного уравнения: $t=\sqrt{11}$ и $t=11$, поскольку их сумма равна $11+\sqrt{11}$, а произведение — $11\sqrt{11}$.

Возвращаемся к замене: $11^x=\sqrt{11}=11^{1/2}$ или $11^x=11$. Значит, $x=\frac12$ или $x=1$.

Ответ: $x=\frac12;\ 1$.

5) \(121^x-(\sqrt{11}+1)\cdot11^{x+0{,}5}+11\sqrt{11}=0\). Найти \(x\).