5.4. Дан квадрат ABCD; точка M — середина стороны CD, O — точка пересечения диагоналей, точка K делит отрезок BC в соотношении 1:2. Разложите по векторам a = AD и b = AB следующие векторы: 1) AC; 2) CM; 3) OD; 4) DK.

Положим начало отсчёта в A. Тогда \(\overrightarrow{AB}=\mathbf b\), \(\overrightarrow{AD}=\mathbf a\), а из свойства параллелограмма \(\overrightarrow{AC}=\mathbf a+\mathbf b\).

1. \(\overrightarrow{AC}=\mathbf a+\mathbf b\).
2. M — середина CD, поэтому \(\overrightarrow{AM}=\mathbf a+ frac12\mathbf b\). Тогда \(\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}=- frac12\mathbf b\).
3. O — середина диагонали AC, значит \(\overrightarrow{AO}= frac12(\mathbf a+\mathbf b)\). Тогда \(\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AO}= frac12\mathbf a- frac12\mathbf b\).
4. Считаем, что отношение указано в порядке \(BK:KC=1:2\). Тогда \(\overrightarrow{BK}= frac13\overrightarrow{BC}= frac13\mathbf a\), поэтому \(\overrightarrow{AK}=\mathbf b+ frac13\mathbf a\). Следовательно, \(\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AD}=\mathbf b- frac23\mathbf a\).

Ответ: 1) \(\mathbf a+\mathbf b\); 2) \(- frac12\mathbf b\); 3) \( frac12\mathbf a- frac12\mathbf b\); 4) \(- frac23\mathbf a+\mathbf b\).