5.416 Найдите корень уравнения: a) $$\frac{1}{3} + x = \frac{5}{6}$$; б) $$x - \frac{2}{5} = \frac{3}{10}$$; в) $$x + \frac{4}{18} = \frac{5}{6} + \frac{1}{3}$$; г) $$(\frac{9}{10} - x) + \frac{9}{15} = 1$$.

Решение:

а) $$\frac{1}{3} + x = \frac{5}{6}$$

1. Чтобы найти $$x$$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:
\[ x = \frac{5}{6} - \frac{1}{3} \]
2. Приведем дроби к общему знаменателю (6):
\[ x = \frac{5}{6} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} \]
3. Выполним вычитание:
\[ x = \frac{5-2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

Ответ: $$x = \frac{1}{2}$$

б) $$x - \frac{2}{5} = \frac{3}{10}$$

1. Чтобы найти уменьшаемое $$x$$, нужно к разности прибавить вычитаемое:
\[ x = \frac{3}{10} + \frac{2}{5} \]
2. Приведем дроби к общему знаменателю (10):
\[ x = \frac{3}{10} + \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{3}{10} + \frac{4}{10} \]
3. Выполним сложение:
\[ x = \frac{3+4}{10} = \frac{7}{10} \]

Ответ: $$x = \frac{7}{10}$$

в) $$x + \frac{4}{18} = \frac{5}{6} + \frac{1}{3}$$

1. Сначала упростим правую часть уравнения, приведя дроби к общему знаменателю (6):
\[ \frac{5}{6} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6} + \frac{2}{6} = \frac{7}{6} \]
2. Теперь уравнение выглядит так:
\[ x + \frac{4}{18} = \frac{7}{6} \]
3. Упростим дробь $$\frac{4}{18}$$ до $$\frac{2}{9}$$:
\[ x + \frac{2}{9} = \frac{7}{6} \]
4. Найдем $$x$$, вычитая $$\frac{2}{9}$$ из $$\frac{7}{6}$$:
\[ x = \frac{7}{6} - \frac{2}{9} \]
5. Приведем дроби к общему знаменателю (18):
\[ x = \frac{7 \cdot 3}{6 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{21}{18} - \frac{4}{18} \]
6. Выполним вычитание:
\[ x = \frac{21-4}{18} = \frac{17}{18} \]

Ответ: $$x = \frac{17}{18}$$

г) $$(\frac{9}{10} - x) + \frac{9}{15} = 1$$

1. Сначала упростим дробь $$\frac{9}{15}$$ до $$\frac{3}{5}$$:
\[ (\frac{9}{10} - x) + \frac{3}{5} = 1 \]
2. Найдем значение выражения в скобках, вычитая $$\frac{3}{5}$$ из 1:
\[ \frac{9}{10} - x = 1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \]
3. Теперь найдем $$x$$. Для этого нужно из $$\frac{9}{10}$$ вычесть $$\frac{2}{5}$$:
\[ x = \frac{9}{10} - \frac{2}{5} \]
4. Приведем дроби к общему знаменателю (10):
\[ x = \frac{9}{10} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{9}{10} - \frac{4}{10} \]
5. Выполним вычитание:
\[ x = \frac{9-4}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]

Ответ: $$x = \frac{1}{2}$$