5.420 Найдите разность $$\frac{a}{14} - \frac{1}{a}$$ при $$a = 7; a = 8; a = 4$$.

Решение:

Сначала найдем разность выражений, приведя их к общему знаменателю.

1. Общий знаменатель для 14 и $$a$$ — это $$14a$$.
\[ \frac{a}{14} - \frac{1}{a} = \frac{a \cdot a}{14 \cdot a} - \frac{1 \cdot 14}{a \cdot 14} = \frac{a^2}{14a} - \frac{14}{14a} = \frac{a^2 - 14}{14a} \]
2. Теперь подставим значения $$a$$:

При $$a = 7$$:

\[ \frac{7^2 - 14}{14 \cdot 7} = \frac{49 - 14}{98} = \frac{35}{98} \]

Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 7:

\[ \frac{35 \div 7}{98 \div 7} = \frac{5}{14} \]

При $$a = 8$$:

\[ \frac{8^2 - 14}{14 \cdot 8} = \frac{64 - 14}{112} = \frac{50}{112} \]

Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

\[ \frac{50 \div 2}{112 \div 2} = \frac{25}{56} \]

При $$a = 4$$:

\[ \frac{4^2 - 14}{14 \cdot 4} = \frac{16 - 14}{56} = \frac{2}{56} \]

Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

\[ \frac{2 \div 2}{56 \div 2} = \frac{1}{28} \]

Ответ: $$\frac{5}{14}; \frac{25}{56}; \frac{1}{28}$$