5−5. Упростить выражение \(\left(\dfrac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\right):\left(\dfrac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-1\right)\).

Question

Вопрос:

5−5. Упростить выражение \(\left(\dfrac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\right):\left(\dfrac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-1\right)\).

Accepted Answer

Сначала упростим выражение в первых скобках:

\[\begin{aligned}\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}&=\frac{(a^2+b^2)^2-(a^2-b^2)^2}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}\\&=\frac{4a^2b^2}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}.\end{aligned}\]

Упростим выражение во вторых скобках:

\[\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-1=\frac{2b^2}{a^2-b^2}.\]

Деление заменим умножением на обратную дробь:

\[\frac{4a^2b^2}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}\cdot\frac{a^2-b^2}{2b^2}=\frac{2a^2}{a^2+b^2}.\]

В исходном выражении требуется \(a^2\ne b^2\), а делитель во вторых скобках должен быть ненулевым, поэтому \(b\ne0\).

Ответ: \(\dfrac{2a^2}{a^2+b^2}\), где \(a^2\ne b^2\) и \(b\ne0\).