5. 6tgx - 2ctgx - 4 = 0

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Заменим ctgx на 1/tgx:
   6tgx - 2(1/tgx) - 4 = 0.
2. Шаг 2: Умножим все члены уравнения на tgx (при условии, что tgx ≠ 0):
   6tg²x - 2 - 4tgx = 0.
3. Шаг 3: Перенесем все члены в одну сторону и приведем в порядок:
   6tg²x - 4tgx - 2 = 0.
4. Шаг 4: Разделим все члены на 2 для упрощения:
   3tg²x - 2tgx - 1 = 0.
5. Шаг 5: Введем замену переменной: пусть t = tgx. Уравнение примет вид: 3t² - 2t - 1 = 0.
6. Шаг 6: Решим квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта: D = b² - 4ac.
   D = (-2)² - 4 * 3 * (-1) = 4 + 12 = 16.
   √D = 4.
7. Шаг 7: Найдем корни квадратного уравнения:
   t₁ = (-b + √D) / 2a = (2 + 4) / (2 * 3) = 6 / 6 = 1.
   t₂ = (-b - √D) / 2a = (2 - 4) / (2 * 3) = -2 / 6 = -1/3.
8. Шаг 8: Вернемся к исходной переменной:
   tgx = 1 или tgx = -1/3.
9. Шаг 9: Найдем значения x:
   Для tgx = 1: x = π/4 + πn, где n — любое целое число.
   Для tgx = -1/3: x = arctg(-1/3) + πk, где k — любое целое число.
10. Шаг 10: Проверим условие tgx ≠ 0. В наших решениях tgx = 1 и tgx = -1/3, что не равно нулю, поэтому оба решения подходят.

Ответ: x = π/4 + πn; x = arctg(-1/3) + πk, где n, k ∈ ℤ.