5.9. ∠ACB = 160°. Внутри данного угла проведен луч СМ. Внутри углов АСМ и МСВ проведены биссектрисы. Найдите величину угла между этими биссектрисами.

Решение:

Пусть \( \angle ACM \) и \( \angle MCB \) — два угла, которые в сумме дают \( \angle ACB = 160° \).

Пусть \( CK \) — биссектриса \( \angle ACM \), а \( CL \) — биссектриса \( \angle MCB \).

Тогда \( \angle ACK = \angle KCM = \frac{1}{2} \angle ACM \) и \( \angle MCL = \angle LCB = \frac{1}{2} \angle MCB \).

Угол между биссектрисами \( CK \) и \( CL \) равен \( \angle KCL \).

\( \angle KCL = \angle KCM + \angle MCL = \frac{1}{2} \angle ACM + \frac{1}{2} \angle MCB = \frac{1}{2} (\angle ACM + \angle MCB) \).

Так как \( \angle ACM + \angle MCB = \angle ACB = 160° \), то \( \angle KCL = \frac{1}{2} \cdot 160° = 80° \).

Ответ: 80°.