5. а) Решите уравнение x² − 12 + 36/x² + 2·(x/2 − 3/x) = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2,5; 2].

а) Область допустимых значений: \(x≠0\). Заметим, что \(x^2−12+\frac{36}{x^2}=(x−\frac6x)^2\), а \(2(\frac x2−\frac3x)=x−\frac6x\).

Обозначим \(t=x−\frac6x\). Тогда уравнение принимает вид \(t^2+t=0\), откуда \(t(t+1)=0\).

1) \(t=0\): \(x−\frac6x=0\), значит \(x^2=6\), поэтому \(x=±\sqrt6\).

2) \(t=−1\): \(x−\frac6x=−1\). Умножая на \(x≠0\), получаем \(x^2+x−6=0\), то есть \((x+3)(x−2)=0\). Отсюда \(x=−3\) или \(x=2\).

Итак, корни уравнения: \(−\sqrt6, −3, 2, \sqrt6\).

б) На отрезке \([−2.5;2]\) находится только корень 2: \(−3<−2.5\), а \(\sqrt6>2\) и \(−\sqrt6<−2.5\).

Ответ: а) \(−\sqrt6, −3, 2, \sqrt6\); б) 2.