5. ABCD — параллелограмм. На диагонали AC лежат точки P и E; DP ⟂ AC, BE ⟂ AC. Доказать: AP = CE.

Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам. Обозначим их точку пересечения через O; тогда O — середина BD и AC.

Точки B и D симметричны относительно O. При перпендикулярном проектировании на AC их проекции E и P также симметричны относительно O. Значит, OE = OP.

Поскольку O — середина AC, AO = OC. На одной прямой точки расположены в порядке A, P, O, E, C, поэтому AP = AO − OP, а CE = OC − OE. Из AO = OC и OP = OE следует AP = CE.

Что и требовалось доказать.