5. ABCD — параллелограмм. Точка E лежит на AC и BE ⟂ AC; точка P лежит на AC и DP ⟂ AC. Доказать: AP = CE.

Пусть O — точка пересечения диагоналей. Центральная симметрия параллелограмма с центром O переводит A в C, B в D, а диагональ AC — в себя.

Перпендикуляр из B к AC переходит в перпендикуляр из D к AC. Поэтому точка E переходит в P, и O — середина EP. Также O — середина AC.

На одной прямой, если O — середина и AC, и EP, то отрезки AP и CE равны. Следовательно, AP = CE.