5. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 1 см. На диагонали $DC_1$ его грани отметили точку $M$ так, что $DM:MC_1=5:3$. 1) Выразите вектор $\overrightarrow{AM}$ через векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AA_1}$. 2) Найдите модуль вектора $\overrightarrow{AM}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 1 см. На диагонали $DC_1$ его грани отметили точку $M$ так, что…$ Фото задания

5. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 1 см. На диагонали $DC_1$ его грани отметили точку $M$ так, что $DM:MC_1=5:3$. 1) Выразите вектор $\overrightarrow{AM}$ через векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AA_1}$. 2) Найдите модуль вектора $\overrightarrow{AM}$.

Accepted Answer

Обозначим $\overrightarrow{AB}=\vec u$, $\overrightarrow{AD}=\vec v$, $\overrightarrow{AA_1}=\vec w$. Тогда $\overrightarrow{AD}=\vec v$, а $\overrightarrow{DC_1}=\vec u+\vec w$.

Так как $DM:MC_1=5:3$, точка $M$ делит диагональ $DC_1$ в отношении 5 к 3, считая от $D$. Поэтому $\overrightarrow{DM}=\frac{5}{8}\overrightarrow{DC_1}=\frac{5}{8}(\vec u+\vec w)$.

1) $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AD}+\frac{5}{8}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{8}\overrightarrow{AA_1}$.

В кубе три вектора вдоль рёбер, выходящих из одной вершины, попарно перпендикулярны и имеют длину 1 см. Следовательно,

2) $|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{\left(\frac{5}{8}\right)^2+1^2+\left(\frac{5}{8}\right)^2}=\sqrt{\frac{57}{32}}=\frac{\sqrt{114}}{8}\text{ см}$.

Ответ: 1) $\overrightarrow{AM}=\frac{5}{8}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{5}{8}\overrightarrow{AA_1}$; 2) $|\overrightarrow{AM}|=\frac{\sqrt{114}}{8}$ см.