5. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCD A_1B_1C_1D_1$, в котором $AB=6$, $BC=5$, $AA_1=10$. Найти угол между прямой $AB$ и $D_1E$, где $E$ — середина $AC$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCD A_1B_1C_1D_1$, в котором $AB=6$, $BC=5$, $AA_1=10$. Найти угол между прямой…$ Фото задания

5. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCD A_1B_1C_1D_1$, в котором $AB=6$, $BC=5$, $AA_1=10$. Найти угол между прямой $AB$ и $D_1E$, где $E$ — середина $AC$.

Accepted Answer

Введём координаты: $A=(0;0;0)$, $B=(6;0;0)$, $C=(6;5;0)$, $D_1=(0;5;10)$. Середина $AC$: $E=(3;2.5;0)$.

Направляющие векторы прямых: $\overrightarrow{AB}=(6;0;0)$, $\overrightarrow{D_1E}=(3;-2.5;-10)$. Для угла между прямыми берём острый угол, поэтому используем модуль скалярного произведения.

$|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{D_1E}|=18$, $|\overrightarrow{AB}|=6$, $|\overrightarrow{D_1E}|=\sqrt{3^2+(-2.5)^2+(-10)^2}=\frac{\sqrt{461}}{2}$.

Следовательно, $\cos\varphi=\frac{18}{6\cdot\frac{\sqrt{461}}{2}}=\frac{6}{\sqrt{461}}$, откуда $\varphi=\arccos\frac{6}{\sqrt{461}}\approx73.8^\circ$.

Ответ: $\arccos\frac{6}{\sqrt{461}}\approx73.8^\circ$.

5. Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCD A_1B_1C_1D_1\), в котором \(AB=6\), \(BC=5\), \(AA_1=10\). Найти угол между прямой \(AB\) и \(D_1E\), где \(E\) — середина \(AC\).

Ответ: