6. Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник ABC, $\angle ACB=120^\circ$, $AC=CB=BB_1$. Используя векторы, найдите: а) угол между прямыми AB и CB₁; б) угол между прямой CB₁ и плоскостью (ABB₁).

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник ABC, $\angle ACB=120^\circ$, $AC=CB=BB_1$. Используя…$ Фото задания

6. Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник ABC, $\angle ACB=120^\circ$, $AC=CB=BB_1$. Используя векторы, найдите: а) угол между прямыми AB и CB₁; б) угол между прямой CB₁ и плоскостью (ABB₁).

Accepted Answer

Обозначим общую длину $AC=CB=BB_1=s$. Выберем координаты: $C=(0;0;0)$, $A=(s;0;0)$, $B=(-\frac{s}{2};\frac{\sqrt3s}{2};0)$. Так как призма прямая, $B_1=(-\frac{s}{2};\frac{\sqrt3s}{2};s)$.

а) Направляющие векторы: $\overrightarrow{AB}=(-\frac{3s}{2};\frac{\sqrt3s}{2};0)$, $\overrightarrow{CB_1}=(-\frac{s}{2};\frac{\sqrt3s}{2};s)$. Их скалярное произведение равно $\frac{3s^2}{2}$, длины — $|AB|=\sqrt3s$ и $|CB_1|=\sqrt2s$. Поэтому $\cos\varphi=\frac{\frac{3s^2}{2}}{\sqrt3s\cdot\sqrt2s}=\frac{\sqrt6}{4}$, то есть $\varphi\approx52.2^\circ$.

б) Плоскость $(ABB_1)$ содержит направления $\overrightarrow{AB}$ и вертикальное направление $(0;0;1)$. Её нормаль можно взять равной $\vec n=(1;\sqrt3;0)$, причём $|\vec n|=2$. Для угла $\alpha$ между прямой $CB_1$ и плоскостью используем $\sin\alpha=\frac{|\overrightarrow{CB_1}\cdot\vec n|}{|\overrightarrow{CB_1}||\vec n|}=\frac{\sqrt2}{4}$. Значит, $\alpha=\arcsin\frac{\sqrt2}{4}\approx20.7^\circ$.

Ответ: а) $\arccos\frac{\sqrt6}{4}\approx52.2^\circ$; б) $\arcsin\frac{\sqrt2}{4}\approx20.7^\circ$.