7. По условию задачи № 5 найти расстояние от точки \(D_1\) до плоскости \((AB_1C)\).

Возьмём координаты из задачи № 5: \(A=(0;0;0)\), \(B_1=(6;0;10)\), \(C=(6;5;0)\), \(D_1=(0;5;10)\).

Нормаль к плоскости \((AB_1C)\) найдём как векторное произведение \(\overrightarrow{AB_1}\times\overrightarrow{AC}=(-50;60;30)\), поэтому можно взять нормаль \((-5;6;3)\). Уравнение плоскости, проходящей через начало координат: \(-5x+6y+3z=0\).

Расстояние от \(D_1=(0;5;10)\) до этой плоскости:

\(d=\frac{|-5\cdot0+6\cdot5+3\cdot10|}{\sqrt{(-5)^2+6^2+3^2}}=\frac{60}{\sqrt{70}}=\frac{6\sqrt{70}}{7}\).

Ответ: \(\frac{6\sqrt{70}}{7}\).