5. Дан прямоугольный треугольник АВС, у которого ∠C-прямой, катет ВС=6 см и ∠A=60°. Найдите: а) остальные стороны ДАВС б) площадь ДАВС в) длину высоты, опущенной из вершины С.

Решение:

а) Остальные стороны ΔABC

1. Дано: \( ΔABC \) — прямоугольный, \( ̄C = 90^{\circ} \), \( BC = 6 \) см, \( A = 60^{\circ} \).
2. Найдем \( B \): \( B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
3. Найдем катет AC. Используем тангенс угла A: \( \tan{A} = \frac{BC}{AC} \)
4. \( \tan{60^{\circ}} = \frac{6}{AC} \)
5. \( √{3} = \frac{6}{AC} \)
6. \( AC = \frac{6}{√{3}} = \frac{6√{3}}{3} = 2√{3} \) см.
7. Найдем гипотенузу AB. Используем синус угла A: \( \\\sin{A} = \frac{BC}{AB} \)
8. \( √{3}/2 = \frac{6}{AB} \)
9. \( AB = \frac{6 · 2}{√{3}} = \frac{12}{√{3}} = \frac{12√{3}}{3} = 4√{3} \) см.

б) Площадь ΔABC

1. Площадь прямоугольного треугольника: \( S = \frac{1}{2} · катет_1 · катет_2 \)
2. \( S = \frac{1}{2} · BC · AC \)
3. \( S = \frac{1}{2} · 6 · 2√{3} \)
4. \( S = 6√{3} \) см².

в) Длина высоты, опущенной из вершины С

1. Площадь прямоугольного треугольника также можно найти как \( S = \frac{1}{2} · гипотенуза · высота \), где высота проведена к гипотенузе.
2. \( S = \frac{1}{2} · AB · h_c \)
3. \( 6√{3} = \frac{1}{2} · 4√{3} · h_c \)
4. \( 6√{3} = 2√{3} · h_c \)
5. \( h_c = \frac{6√{3}}{2√{3}} = 3 \) см.

Ответ: а) AC = 2√{3} см, AB = 4√{3} см; б) 6√{3} см²; в) 3 см.