5. Дан тетраэдр DABC. Точка K — середина ребра BD, точка M — середина ребра CD. Постройте прямую пересечения плоскостей AKC и ABM. Найдите длину отрезка этой прямой внутри тетраэдра, если длина ребра равна 6 см.

В грани BCD проведём прямые CK и BM. Обозначим их точку пересечения через X:

\(X = CK \cap BM\).

Точка X принадлежит плоскости AKC, поскольку \(X \in CK\), и плоскости ABM, поскольку \(X \in BM\). Точка A также принадлежит обеим плоскостям. Поэтому прямая пересечения плоскостей — AX.

Так как K и M — середины рёбер треугольника BCD, прямые CK и BM пересекаются в центре тяжести грани BCD. В правильном тетраэдре отрезок AX является высотой.

При ребре \(a = 6\) см:

\[AX = a\sqrt{\frac{2}{3}} = 6\sqrt{\frac{2}{3}} = 2\sqrt{6}\text{ см}.\]

Ответ: прямая пересечения — AX, где X = CK ∩ BM; длина отрезка внутри тетраэдра равна \(2\sqrt{6}\) см.