5. Дана функция y = (3x − 2)/(x − 2). А) Приведите дробно-линейную функцию к стандартному виду и запишите уравнения асимптот. Б) Найдите область определения функции. В) Найдите множество значений функции.

А) Разделим числитель на знаменатель в виде преобразования: \(3x-2=3(x-2)+4\). Поэтому \(y=3+\frac{4}{x-2}\). Вертикальная асимптота возникает при обращении знаменателя в ноль: \(x=2\). При неограниченном росте \(|x|\) дробь \(\frac{4}{x-2}\) стремится к нулю, поэтому горизонтальная асимптота — \(y=3\).

Б) Знаменатель не должен равняться нулю: \(x-2\ne0\), значит, \(x\ne2\).

В) В выражении \(y=3+\frac{4}{x-2}\) дробная часть не равна нулю ни при каком допустимом \(x\), поэтому \(y\ne3\). Любое другое значение достижимо: для \(y\ne3\) уравнение даёт \(x=2+\frac{4}{y-3}\).

Ответ: А) \(y=3+\frac{4}{x-2}\); асимптоты \(x=2\) и \(y=3\). Б) \(D(y)=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). В) \(E(y)=\mathbb{R}\setminus\{3\}\).