№5. Даны две окружности с центрами в точках \( O_1, O_2 \). АВ их общая внешняя касательная. Найдите:

Краткая запись:

• \( O_1 \) и \( O_2 \) — центры окружностей
• АВ — общая внешняя касательная
• Найти:
• 1) АВ, если \( AO_1 = 3 \) см, \( BO_2 = 10 \) см, \( O_1O_2 = 25 \) см
• 2) \( AO_1 \), если \( AB = 15 \) см, \( BO_2 = 17 \) см, \( O_1O_2 = 30 \) см

Пошаговое решение:

Часть 1: Найти АВ

1. Шаг 1: Проведем прямую \( O_1K \) параллельно АВ, где K — точка на \( BO_2 \). Получится прямоугольник \( ABO_1K \).
2. Шаг 2: Тогда \( AB = O_1K \) и \( AO_1 = BK = 3 \) см.
3. Шаг 3: Длина отрезка \( KO_2 = BO_2 - BK = 10 - 3 = 7 \) см.
4. Шаг 4: Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle O_1KO_2 \). По теореме Пифагора: \( O_1O_2^2 = O_1K^2 + KO_2^2 \).
5. Шаг 5: Подставляем известные значения: \( 25^2 = O_1K^2 + 7^2 \).
6. Шаг 6: Вычисляем: \( 625 = O_1K^2 + 49 \) \( O_1K^2 = 625 - 49 \) \( O_1K^2 = 576 \) \( O_1K = \sqrt{576} = 24 \) см.
7. Шаг 7: Так как \( AB = O_1K \), то \( AB = 24 \) см.

Часть 2: Найти \( AO_1 \)

8. Шаг 8: Проведем прямую \( O_1K \) параллельно АВ, где K — точка на \( BO_2 \). Получится прямоугольник \( ABO_1K \).
9. Шаг 9: Тогда \( AB = O_1K = 15 \) см.
10. Шаг 10: Длина отрезка \( KO_2 = BO_2 - BK \). Так как \( AO_1 = BK \) (из прямоугольника \( ABO_1K \)), то \( KO_2 = 17 - AO_1 \).
11. Шаг 11: Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle O_1KO_2 \). По теореме Пифагора: \( O_1O_2^2 = O_1K^2 + KO_2^2 \).
12. Шаг 12: Подставляем известные значения: \( 30^2 = 15^2 + (17 - AO_1)^2 \).
13. Шаг 13: Вычисляем: \( 900 = 225 + (17 - AO_1)^2 \) \( (17 - AO_1)^2 = 900 - 225 \) \( (17 - AO_1)^2 = 675 \) \( 17 - AO_1 = \sqrt{675} = \sqrt{225 imes 3} = 15\sqrt{3} \).
14. Шаг 14: Находим \( AO_1 \): \( AO_1 = 17 - 15\sqrt{3} \) см.

Ответ: 1) 24 см; 2) \( 17 - 15\sqrt{3} \) см