5. $\dfrac{x}{x^2+4x+4}=\dfrac{4}{x^2-4}-\dfrac{16}{x^3+2x^2-4x-8}$

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. $\dfrac{x}{x^2+4x+4}=\dfrac{4}{x^2-4}-\dfrac{16}{x^3+2x^2-4x-8}$$ Фото задания

Accepted Answer

ОДЗ: $x\ne-2$, $x\ne2$, так как $x^2+4x+4=(x+2)^2$, $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $x^3+2x^2-4x-8=(x+2)^2(x-2)$.

Уравнение принимает вид $\dfrac{x}{(x+2)^2}=\dfrac4{(x-2)(x+2)}-\dfrac{16}{(x+2)^2(x-2)}$.

Умножим на общий знаменатель $(x+2)^2(x-2)$:

$x(x-2)=4(x+2)-16$.

Раскрываем скобки и переносим всё в левую часть: $x^2-2x=4x-8$, поэтому $x^2-6x+8=0$.

$(x-2)(x-4)=0$, откуда кандидаты $x=2$ и $x=4$. Значение $x=2$ исключено из ОДЗ, а $x=4$ допустимо.

Ответ: $x=4$.

5. \(\dfrac{x}{x^2+4x+4}=\dfrac{4}{x^2-4}-\dfrac{16}{x^3+2x^2-4x-8}\)