5. Диагональ АС ромба ABCD равна 30, a tg ∠BCA = 4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как О. Тогда \( AO = OC = AC/2 = 30/2 = 15 \).
2. Шаг 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник BOC. Нам известен тангенс угла BCA: \( \text{tg}(∠ BCA) = \frac{BO}{OC} = \frac{4}{3} \).
3. Шаг 3: Найдем длину отрезка BO. \( BO = OC · \text{tg}(∠ BCA) = 15 · \frac{4}{3} = 20 \).
4. Шаг 4: Найдем длину диагонали BD. \( BD = 2 · BO = 2 · 20 = 40 \).
5. Шаг 5: Вычислим площадь ромба. Площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей: \( S = \frac{AC · BD}{2} = \frac{30 · 40}{2} = 600 \).
6. Шаг 6: Найдем сторону ромба. В прямоугольном треугольнике BOC, по теореме Пифагора: \( BC^2 = BO^2 + OC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625 \). \( BC = √{625} = 25 \).
7. Шаг 7: Площадь ромба также можно выразить как произведение стороны на высоту (которая равна диаметру вписанной окружности): \( S = a · h \). \( 600 = 25 · h \). \( h = \frac{600}{25} = 24 \).
8. Шаг 8: Радиус вписанной окружности равен половине высоты: \( r = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12 \).

Ответ: 12