Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 5. Диагональ АС ромба ABCD равна 30, a tg ∠BCA = 4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.Фото задания

Ответ:

Задание 5. Радиус вписанной окружности в ромб

Дано:

  • Ромб ABCD.
  • Диагональ \( AC = 30 \).
  • \( \text{tg} \angle BCA = \frac{4}{3} \).

Найти: радиус вписанной окружности \( r \).

Решение:

  1. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей — O.
  2. \( AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{30}{2} = 15 \).
  3. \( \triangle BOC \) — прямоугольный треугольник (\( \angle BOC = 90^\circ \)).
  4. В \( \triangle BOC \): \( \text{tg} \angle BCA = \frac{OB}{OC} \).
  5. Подставим известные значения: \( \frac{4}{3} = \frac{OB}{15} \).
  6. Вычислим \( OB \): \( OB = \frac{4}{3} \cdot 15 = 4 \cdot 5 = 20 \).
  7. Диагонали ромба равны 30 и \( 2 \cdot OB = 2 \cdot 20 = 40 \).
  8. Площадь ромба \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} AC BD = \frac{1}{2} 30 40 = 15 40 = 600 \).
  9. Сторона ромба \( BC \) найдется по теореме Пифагора из \( \triangle BOC \): \( BC^2 = OB^2 + OC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625 \).
  10. \( BC = \sqrt{625} = 25 \).
  11. Радиус вписанной окружности в ромб связан с площадью и периметром: \( r = \frac{S}{p} \), где \( p \) — полупериметр.
  12. Периметр ромба \( P = 4 BC = 4 25 = 100 \).
  13. Полупериметр \( p = \frac{100}{2} = 50 \).
  14. Радиус \( r = \frac{600}{50} = 12 \).

Ответ: 12.