5. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 80°. Найдите меньший угол этого параллелограмма.

Решение:

Пусть диагональ BD образует угол \( \angle ABD = 65^{\circ} \) со стороной AB и \( \angle CDB = 80^{\circ} \) со стороной CD.

Так как ABCD — параллелограмм, то AB || CD. Следовательно, накрест лежащие углы равны: \( \angle ABD = \angle BDC \) и \( \angle ADB = \angle CBD \).

По условию \( \angle ABD = 65^{\circ} \) и \( \angle CDB = 80^{\circ} \). Но \( \angle ABD \) и \( \angle CDB \) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых AB и CD и секущей BD. Следовательно, они должны быть равны. Однако, \( 65^{\circ} \neq 80^{\circ} \). Это означает, что углы даны не в таком порядке. Возможно, \( \angle CBD = 65^{\circ} \) и \( \angle ADB = 80^{\circ} \), или \( \angle ABD = 65^{\circ} \) и \( \angle ADB = 80^{\circ} \), или \( \angle CBD = 80^{\circ} \) и \( \angle CDB = 65^{\circ} \).

Рассмотрим случай, когда диагональ BD образует углы \( 65^{\circ} \) и \( 80^{\circ} \) со сторонами AB и AD соответственно. То есть \( \angle ABD = 65^{\circ} \) и \( \angle ADB = 80^{\circ} \).

Тогда в треугольнике ABD:

\[ \angle BAD = 180^{\circ} - (\angle ABD + \angle ADB) = 180^{\circ} - (65^{\circ} + 80^{\circ}) = 180^{\circ} - 145^{\circ} = 35^{\circ} \]

Это один из углов параллелограмма. Меньший угол параллелограмма равен \( 35^{\circ} \).

Проверим второй возможный случай: \( \angle CBD = 65^{\circ} \) и \( \angle CDB = 80^{\circ} \).

Так как AB || CD, то \( \angle ABD = \angle CDB = 80^{\circ} \).

Так как AD || BC, то \( \angle ADB = \angle CBD = 65^{\circ} \).

Угол параллелограмма \( \angle DAB = \angle DAB \) (неизвестен).

Угол параллелограмма \( \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 80^{\circ} + 65^{\circ} = 145^{\circ} \).

Угол параллелограмма \( \angle BCD = \angle BAD \).

Угол параллелограмма \( \angle CDA = \angle ADB + \angle CDB = 65^{\circ} + 80^{\circ} = 145^{\circ} \).

Сумма углов параллелограмма: \( \angle DAB + 145^{\circ} + \angle BCD + 145^{\circ} = 360^{\circ} \). Значит, \( \angle DAB + \angle BCD = 360^{\circ} - 290^{\circ} = 70^{\circ} \). Так как \( \angle DAB = \angle BCD \), то \( \angle DAB = \angle BCD = 35^{\circ} \).

В этом случае углы параллелограмма равны \( 35^{\circ}, 145^{\circ}, 35^{\circ}, 145^{\circ} \). Меньший угол равен \( 35^{\circ} \).

Ответ: 35°.