№ 5. Для каких значений параметра p неравенство px² + (2p + 1)x − (2 − p) < 0 верно при всех значениях x?

Чтобы квадратный трёхчлен был строго отрицателен при всех x, его старший коэффициент должен быть отрицательным, а дискриминант — строго отрицательным. (При отрицательном старшем коэффициенте график направлен вниз; отрицательный дискриминант означает, что график не пересекает ось x.)

Старший коэффициент: p, поэтому требуется p < 0.

Дискриминант:

D = (2p + 1)² − 4p(p − 2) = 12p + 1.

Условие D < 0 даёт p < −1/12. Оно автоматически обеспечивает p < 0. Равенство D = 0 не подходит, так как тогда при одном значении x выражение равно нулю.

Ответ: p < −1/12.