5. Докажите, что числа 728 и 1275 — взаимно простые. Вместо звёздочек в записи 173** поставьте такую цифру, чтобы полученное число было кратно 3 (рассмотрите все возможные случаи).

Question

Вопрос:

Фото задания

5. Докажите, что числа 728 и 1275 — взаимно простые. Вместо звёздочек в записи 173** поставьте такую цифру, чтобы полученное число было кратно 3 (рассмотрите все возможные случаи).

Accepted Answer

Разложим числа на простые множители:

\(728=2^3\cdot7\cdot13\), \(1275=3\cdot5^2\cdot17\).

Общих простых множителей нет, следовательно, \(\operatorname{НОД}(728,1275)=1\). Числа взаимно простые.

Пусть запись числа имеет вид \(173ab\), где \(a\) и \(b\) — цифры. Сумма цифр равна \(1+7+3+a+b=11+a+b\). Для делимости на 3 необходимо, чтобы \(a+b\equiv1\pmod 3\).

Если \(a\in\{0,3,6,9\}\), то \(b\in\{1,4,7\}\).
Если \(a\in\{1,4,7\}\), то \(b\in\{0,3,6,9\}\).
Если \(a\in\{2,5,8\}\), то \(b\in\{2,5,8\}\).

Ответ: числа 728 и 1275 взаимно простые; для 173ab условие — \(a+b\equiv1\pmod3\), перечисленные пары цифр дают все случаи.