5. Докажите, что число \(\frac{(\sqrt{6}-2)^2}{5-2\sqrt{6}}\) является рациональным.

Решение:

Чтобы доказать, что число \(\frac{(\sqrt{6}-2)^2}{5-2\sqrt{6}}\)
является рациональным, нужно упростить это выражение и показать, что оно представимо в виде \( \frac{p}{q} \), где \( p \) и \( q \) — целые числа, \( q \neq 0 \).

1. Раскроем квадрат в числителе по формуле \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \):
   \( (\sqrt{6}-2)^2 = (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 2 + 2^2 = 6 - 4\sqrt{6} + 4 = 10 - 4\sqrt{6} \).
2. Теперь выражение имеет вид: \(\frac{10-4\sqrt{6}}{5-2\sqrt{6}}\).
3. Вынесем общий множитель 2 из числителя: \(\frac{2(5-2\sqrt{6})}{5-2\sqrt{6}}\).
4. Сократим дробь, так как \( 5-2\sqrt{6} \neq 0 \): \( 2 \).
5. Число 2 является рациональным, так как его можно представить в виде \( \frac{2}{1} \).

Ответ: Число \(\frac{(\sqrt{6}-2)^2}{5-2\sqrt{6}}\)
равно 2, что является рациональным числом.