5. Докажите, что данное уравнение имеет целые корни, и найдите их: а) $x^2=(\sqrt{6+2\sqrt5}-\sqrt{6-2\sqrt5})^2$; б) $x^2=(\sqrt{7-2\sqrt6}-\sqrt{7+2\sqrt6})^2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Докажите, что данное уравнение имеет целые корни, и найдите их: а) $x^2=(\sqrt{6+2\sqrt5}-\sqrt{6-2\sqrt5})^2$; б)…$ Фото задания

5. Докажите, что данное уравнение имеет целые корни, и найдите их: а) $x^2=(\sqrt{6+2\sqrt5}-\sqrt{6-2\sqrt5})^2$; б) $x^2=(\sqrt{7-2\sqrt6}-\sqrt{7+2\sqrt6})^2$.

Accepted Answer

а) $6+2\sqrt5=(\sqrt5+1)^2$, $6-2\sqrt5=(\sqrt5-1)^2$. Поскольку $\sqrt5>1$, разность корней равна $(\sqrt5+1)- (\sqrt5-1)=2$. Следовательно, $x^2=4$, откуда $x=\pm2$.
б) $7-2\sqrt6=(\sqrt6-1)^2$, $7+2\sqrt6=(\sqrt6+1)^2$. Разность корней равна $(\sqrt6-1)- (\sqrt6+1)=-2$. Следовательно, $x^2=4$, откуда $x=\pm2$.

Ответ: в обоих уравнениях целые корни $-2$ и $2$.

5. Докажите, что данное уравнение имеет целые корни, и найдите их: а) \(x^2=(\sqrt{6+2\sqrt5}-\sqrt{6-2\sqrt5})^2\); б) \(x^2=(\sqrt{7-2\sqrt6}-\sqrt{7+2\sqrt6})^2\).

Ответ: