5. Докажите, что если диагонали ромба равны, то он является квадратом.

Пусть дан ромб \(ABCD\), диагонали которого равны: \(AC=BD\).

1. Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам.
2. Рассмотрим прямоугольные треугольники \(AOB\) и \(BOC\), где \(O\) — точка пересечения диагоналей.
3. Так как диагонали равны и делятся пополам, то \(AO=BO=OC=OD\).
4. В прямоугольных треугольниках \(AOB\) и \(BOC\) катеты равны, следовательно, эти треугольники равны.
5. Значит, \(\angle AOB=\angle BOC\). Оба угла прямые, поэтому диагонали образуют равные углы со сторонами ромба.
6. Следовательно, все углы ромба равны. Так как сумма соседних углов равна \(180^\circ\), каждый угол равен \(90^\circ\).

Ромб с четырьмя прямыми углами является прямоугольником. Прямоугольник с равными диагоналями имеет равные стороны, поэтому данный ромб является квадратом.

Что и требовалось доказать.