5. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом C, а CM — медиана к гипотенузе AB. Тогда M — середина AB.

1. В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы равноудалена от всех трёх вершин: MA = MB = MC.
2. Поскольку M — середина AB, имеем MA = AB/2.
3. Следовательно, CM = MA = AB/2.

Значит, медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.