5. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Пусть \(ABC\) — прямоугольный треугольник с прямым углом \(C\), а \(M\) — середина гипотенузы \(AB\). Проведём описанную около треугольника окружность.

Так как \(\angle C=90°\), по обратной теореме Фалеса гипотенуза \(AB\) является диаметром этой окружности. Точка \(M\), середина диаметра, — центр окружности. Поэтому \(MA=MB=MC\) как радиусы.

Поскольку \(M\) — середина \(AB\), имеем \(MA=\frac{AB}{2}\). А медиана \(CM=MA\), следовательно, \(CM=\frac{AB}{2}\). Что и требовалось доказать.