5. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения \(\dfrac{1}{1-a^2}+\dfrac{2}{a^4-1}-\dfrac{4}{1+a^2}\) отрицательно.

Допустимые значения: знаменатели не равны нулю, поэтому \(a\ne-1\) и \(a\ne1\).

Так как \(a^4-1=(a^2-1)(a^2+1)\), а \(a^2-1=-(1-a^2)\), приводим выражение к общему знаменателю:

\(\dfrac{1}{1-a^2}+\dfrac{2}{a^4-1}-\dfrac{4}{1+a^2}=\dfrac{1+a^2-2-4(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)}\).

Числитель равен \(5a^2-5=5(a^2-1)\), а знаменатель равен \(1-a^4=-(a^2-1)(a^2+1)\). Сокращая при допустимых значениях, получаем \(-\dfrac{5}{a^2+1}\).

Поскольку \(a^2+1>0\) при любом действительном \(a\), выражение строго отрицательно.

Доказано.