5. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных выражение \(\frac{1}{4a^2-4ab+b^2}+\frac{1}{4a^2-b^2}+\frac{1}{4a^2+4ab+b^2}\) принимает положительное значение.

Разложим знаменатели на множители:

\(4a^2-4ab+b^2=(2a-b)^2\), \(4a^2-b^2=(2a-b)(2a+b)\), \(4a^2+4ab+b^2=(2a+b)^2\).

Допустимы только значения, при которых знаменатели не равны нулю, то есть \(2a-b\ne0\) и \(2a+b\ne0\). Обозначим \(u=2a-b\), \(v=2a+b\). Тогда выражение равно

\(\frac{1}{u^2}+\frac{1}{uv}+\frac{1}{v^2}=\frac{v^2+uv+u^2}{u^2v^2}\).

Знаменатель положителен. Числитель также положителен, поскольку \(u^2+uv+v^2=(u+\frac{v}{2})^2+\frac{3v^2}{4}>0\) при \(v\ne0\). Следовательно, исходное выражение положительно при всех допустимых значениях переменных.