5. Докажите, что верно равенство (a + b + c)³ - a³ - b³ - c³ = 3(a + b)(b + c)(c + a).

Решение:

Рассмотрим левую часть равенства:

\( (a + b + c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 \)

Используем формулу куба суммы трёх переменных: \( (a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a) \).

Подставим это в левую часть:

\( (a^3+b^3+c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)) - a^3 - b^3 - c^3 \)

Сократим противоположные члены \( a^3, b^3, c^3 \>):

\( 3(a+b)(b+c)(c+a) \>

Получили выражение, равное правой части исходного равенства.

Доказано.