5. Докажите, что верно равенство (p+x)(p-x)-(p-x+c)(p+x-c)-c(c-2x)=0.

Решение:

Раскроем скобки и упростим выражение:

1. Первое произведение: \( (p+x)(p-x) = p^2 - x^2 \)
2. Второе произведение: \( (p-x+c)(p+x-c) \). Заметим, что \( -x+c = -(x-c) \) и \( +x-c = +(x-c) \). Можно переписать как \( ((p+c)-x)((p-c)+x) \). Или проще, заменим \( p \) на \( a \) и \( x-c \) на \( b \), тогда имеем \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \). Пусть \( a = p \) и \( b = x-c \). Тогда \( (p-(x-c))(p+(x-c)) = (p-x+c)(p+x-c) = p^2 - (x-c)^2 = p^2 - (x^2 - 2xc + c^2) \).
3. Теперь подставим это в исходное выражение:

\( (p^2 - x^2) - (p^2 - (x^2 - 2xc + c^2)) - c(c-2x) = 0 \)

Раскроем скобки:

\( p^2 - x^2 - p^2 + x^2 - 2xc + c^2 - c^2 + 2xc = 0 \)

Сократим подобные члены:

\( (p^2 - p^2) + (-x^2 + x^2) + (-2xc + 2xc) + (c^2 - c^2) = 0 \)

\( 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \)

\( 0 = 0 \)

Равенство доказано.

Ответ: Равенство верно.