5. Докажите, что все прямые, которые пересекают одну из двух скрещивающихся прямых и параллельны другой прямой, лежат в одной плоскости.

Пусть скрещивающиеся прямые — \(a\) и \(b\). Возьмём плоскость \(\pi\), проходящую через прямую \(a\) и параллельную прямой \(b\). Такая плоскость существует: через любую точку прямой \(a\) можно провести прямую, параллельную \(b\); она и прямая \(a\) задают плоскость.

Рассмотрим любую прямую \(l\), которая пересекает \(a\) и параллельна \(b\). Точка пересечения \(l\) с \(a\) принадлежит плоскости \(\pi\). Через эту точку в плоскости \(\pi\) проходит прямая, параллельная \(b\). По единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, эта прямая совпадает с \(l\). Значит, \(l\) лежит в \(\pi\).

Следовательно, все рассматриваемые прямые лежат в одной плоскости.