5. Докажите, что выражение x^4 − 4x^3 + 9 не принимает отрицательных значений при любых x.

Преобразуем выражение, выделив квадрат:

\(x^4-4x^3+9=x^3(x-4)+9\).

Однако при \(x=2\) получаем \(2^4-4\cdot2^3+9=16-32+9=-7<0\).

Следовательно, утверждение в условии неверно: выражение принимает отрицательные значения, например при \(x=2\).

Ответ: утверждение неверно; при \(x=2\) значение выражения равно \(-7\).