5* Докажите, что выражение x² + 6х +11 принимает положительные значения при всех значениях х. Какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении х?

Привет! Давай разберемся с этим заданием.

Нам нужно доказать, что выражение x² + 6x + 11 всегда положительное, и найти его наименьшее значение.

Решение:

1. Доказательство того, что выражение положительное:
• Мы можем представить это выражение в виде суммы квадрата двучлена и числа. Для этого выделим полный квадрат из первых двух членов: x² + 6x.
• Чтобы получить полный квадрат, нам нужен член (6x / 2)² = (3x)² = 9.
• Тогда мы можем переписать выражение так: x² + 6x + 9 + 2.
• Первые три члена образуют квадрат суммы: (x + 3)².
• Таким образом, исходное выражение равно (x + 3)² + 2.
• Квадрат любого действительного числа ((x + 3)²) неотрицателен (больше или равен нулю).
• Следовательно, (x + 3)² ≥ 0 для всех значений x.
• Прибавляя 2, мы получаем: (x + 3)² + 2 ≥ 0 + 2, то есть (x + 3)² + 2 ≥ 2.
• Это значит, что выражение x² + 6x + 11 всегда больше или равно 2, а значит, оно всегда положительное.
2. Нахождение наименьшего значения:
• Наименьшее значение выражения (x + 3)² + 2 достигается тогда, когда квадрат (x + 3)² принимает свое наименьшее возможное значение.
• Наименьшее значение квадрата равно 0.
• Это происходит, когда x + 3 = 0, то есть при x = -3.
• При x = -3 значение выражения равно: (-3 + 3)² + 2 = 0² + 2 = 2.

Ответ:

• Выражение x² + 6x + 11 принимает положительные значения при всех значениях x, так как его можно представить в виде (x + 3)² + 2, а квадрат числа всегда неотрицателен.
• Наименьшее значение выражения равно 2 и достигается при x = -3.