5. Докажите, что значение выражения 4√(6 1/4) − 3√(1 7/9) является рациональным числом.

Преобразуем смешанные числа:

\(6\frac{1}{4}=\frac{25}{4}\), поэтому \(\sqrt{6\frac{1}{4}}=\frac{5}{2}\).

\(1\frac{7}{9}=\frac{16}{9}\), поэтому \(\sqrt{1\frac{7}{9}}=\frac{4}{3}\).

Тогда \(4\sqrt{6\frac{1}{4}}-3\sqrt{1\frac{7}{9}}=4\cdot\frac{5}{2}-3\cdot\frac{4}{3}=10-4=6\).

Число 6 является рациональным.

Ответ: 6; выражение рационально.