5. Докажите, что значение выражения \(\frac{1}{2+2\sqrt{2}}-\frac{1}{2-2\sqrt{2}}\) есть число рациональное.

Рационализируем каждую дробь, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

\(\frac{1}{2+2\sqrt2}=\frac{2-2\sqrt2}{(2+2\sqrt2)(2-2\sqrt2)}=\frac{2-2\sqrt2}{4-8}=\frac{\sqrt2-1}{2}.\)

Аналогично:

\(\frac{1}{2-2\sqrt2}=\frac{2+2\sqrt2}{(2-2\sqrt2)(2+2\sqrt2)}=\frac{2+2\sqrt2}{4-8}=-\frac{1+\sqrt2}{2}.\)

Следовательно, значение выражения равно \(\frac{\sqrt2-1}{2}-\left(-\frac{1+\sqrt2}{2}\right)=\sqrt2\).

Полученное число \(\sqrt2\) иррационально. Значит, в условии, вероятно, ошибка: данное выражение не является рациональным. Например, его приближённое значение равно \(1.414\).

Ответ: утверждение неверно; значение выражения равно \(\sqrt2\), это иррациональное число.