5. Докажите, что значение выражения \(\frac{3}{7\sqrt2-3}-\frac{3}{7\sqrt2+3}\) есть число рациональное.

Вычтем дроби, используя общий знаменатель:

\[\frac{3}{7\sqrt2-3}-\frac{3}{7\sqrt2+3}=\frac{3(7\sqrt2+3)-3(7\sqrt2-3)}{(7\sqrt2-3)(7\sqrt2+3)}.\]

В числителе получаем \(42\), а знаменатель — разность квадратов: \((7\sqrt2)^2-3^2=98-9=89\). Следовательно, значение выражения равно \(\frac{42}{89}\), то есть является рациональным числом.

Ответ: \(\frac{42}{89}\in\mathbb{Q}\).