5. Докажите, что значение выражения \(\frac1{2\sqrt3+1}-\frac1{2\sqrt3-1}\) есть число рациональное.

Приведём дроби к общему знаменателю:

\(\frac1{2\sqrt3+1}-\frac1{2\sqrt3-1}=\frac{(2\sqrt3-1)-(2\sqrt3+1)}{(2\sqrt3+1)(2\sqrt3-1)}\).

Числитель равен \(-2\), знаменатель: \((2\sqrt3)^2-1^2=12-1=11\).

Следовательно, значение выражения равно \(-\frac2{11}\), а это рациональное число.

Ответ: \(-\frac2{11}\).