5. Докажите неравенства: 1) (1/4)^(−3/2) < (1/27)^(−2/3); 2) 3^(1/3) > 4^(1/4) > 5^(1/5); 3) 2003^(1/2) + 2005^(1/2) < 2·2004^(1/2); 4) 2^(1/100) + 101^(−1) > 1.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

(1/4)^−3/2 = 4^3/2 = 8, а (1/27)^−2/3 = 27^2/3 = 9. Значит, 8 < 9.
Возводим положительные части в общую степень: 3^1/3 > 4^1/4, поскольку 3⁴ = 81 > 4³ = 64. Далее 4^1/4 > 5^1/5, поскольку 4⁵ = 1024 > 5⁴ = 625. Следовательно, требуемая цепочка верна.
Обе части положительны. Сравним их квадраты: (2√2004)² − (√2003 + √2005)² = 2(2004 − √(2003·2005)) > 0, так как 2003·2005 = 2004² − 1 < 2004². Значит, √2003 + √2005 < 2√2004.
2^1/100 > 1, а 101⁻¹ > 0. Поэтому их сумма больше 1.

5. Докажите неравенства: 1) (1/4)^(−3/2) &lt; (1/27)^(−2/3); 2) 3^(1/3) &gt; 4^(1/4) &gt; 5^(1/5); 3) 2003^(1/2) + 2005^(1/2) &lt; 2·2004^(1/2); 4) 2^(1/100) + 101^(−1) &gt; 1.